Линейные алгебраические уравнения встречаются практически в любой области наук, например, в экономике, статистике, электротехнике, физике, химии и других. В экономике это и нахождение параметров математических моделей, и просто в качестве математического инструмента для отыскания неизвестных переменных. В электротехнике система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применяется при расчете параметров электрической цепи. В статистике – для нахождения параметров тренда или уравнения регрессии.
Среди методов решения СЛАУ можно выделить три основных:
1) Метод Крамера;
2) Метод Гаусса;
3) Метод обратной матрицы.
Рассмотрим каждый из этих методов.
Метод Крамера
Система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком - d. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый Xi = di / d, где di - это определитель составленный из коэффициентов при X1 - n, только значения коэффициентов в i - ом стольбце заменены на значения за знаком равенства в сисетеме уравнений, а d - это главный определитель.
Метод Гаусса
Система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Посчитаем этот определитель и убедившись, что он не равен нулю будем решать дальше. Если он равен нулю, то система не будет иметь однозначного, единственного решения и программа не будет решать дальше и выдаст сообщение об ошибке. Если главный определитель не равен нулю, то строим матрицу подобную главной, только добавляем еще один столбец с числами за знаком равенства, в веденной вами системе уравнений. Теперь, при помощи элементарных преобразований, приведем левую часть полученной матрицы к единичному виду.
Заметим, что при работе с системой нет необходимости выписывать полностью ее уравнения, так как вся информация о системе содержится в ее расширенной матрице. Имея в виду возможную перестановку слагаемых, столбцы матрицы нумеруют согласно нумерации неизвестных.
Метод обратной матрицы
Пусть матрица А называется невырожденной. Найдем матрицы X и Y из уравнений
AX = B
YA = B
Так как матрица А невырожденная, то существует обратная матрица А-1. Умножим слева обе части матричного равенства на матрицу А-1. Получим
X = А-1B
Для решения подобных задач используют различные инструменты. В 2009 году состоялось официальное открытие сервиса автоматического решения прикладных задач. Используя данный сервис, можно решить найти неизвестные переменные всеми выше описанными методами решения СЛАУ.
Добавить статью в каталог.
URL | http://www.stateyki.org.ua/articles/metody-resheniya-lineinyh-uravnenii/ |
Ссылка | <a href="http://www.stateyki.org.ua/articles/metody-resheniya-lineinyh-uravnenii/">Методы решения линейных уравнений</a> |
BBCode | [url=http://www.stateyki.org.ua/articles/metody-resheniya-lineinyh-uravnenii/]Методы решения линейных уравнений[/url] |