Методы решения линейных уравнений

Линейные алгебраические уравнения встречаются практически в любой области наук, например, в экономике, статистике, электротехнике, физике, химии и других. В экономике это и нахождение параметров математических моделей, и просто в качестве математического инструмента для отыскания неизвестных переменных. В электротехнике система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) применяется при расчете параметров электрической цепи. В статистике – для нахождения параметров тренда или уравнения регрессии.

Среди методов решения СЛАУ можно выделить три основных:

1) Метод Крамера;

2) Метод Гаусса;

3) Метод обратной матрицы.

Рассмотрим каждый из этих методов.

Метод Крамера

Система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком - d. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый Xi = di / d, где di - это определитель составленный из коэффициентов при X1 - n, только значения коэффициентов в i - ом стольбце заменены на значения за знаком равенства в сисетеме уравнений, а d - это главный определитель.

Метод Гаусса

Система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при X1 - n не будет равен нулю. Посчитаем этот определитель и убедившись, что он не равен нулю будем решать дальше. Если он равен нулю, то система не будет иметь однозначного, единственного решения и программа не будет решать дальше и выдаст сообщение об ошибке. Если главный определитель не равен нулю, то строим матрицу подобную главной, только добавляем еще один столбец с числами за знаком равенства, в веденной вами системе уравнений. Теперь, при помощи элементарных преобразований, приведем левую часть полученной матрицы к единичному виду.

Заметим, что при работе с системой нет необходимости выписывать полностью ее уравнения, так как вся информация о системе содержится в ее расширенной матрице. Имея в виду возможную перестановку слагаемых, столбцы матрицы нумеруют согласно нумерации неизвестных.

Метод обратной матрицы

Пусть матрица А называется невырожденной. Найдем матрицы X и Y из уравнений

AX = B

YA = B

Так как матрица А невырожденная, то существует обратная матрица А-1. Умножим слева обе части матричного равенства на матрицу А-1. Получим

X = А-1B

Для решения подобных задач используют различные инструменты. В 2009 году состоялось официальное открытие сервиса автоматического решения прикладных задач. Используя данный сервис, можно решить найти неизвестные переменные всеми выше описанными методами решения СЛАУ.

Добавить статью в каталог.